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第726章 希尔伯特第一问（第5页）

『我们必须知道，我们必将知道。』

这是希尔伯特的名言，以此作为对那些信奉不可知论之人的反击。

他认为每一个确定的数学问题必定能得到一个准确的回答：

或者给所提问题以实际的肯定答案；或者证明问题是不可能的，因此所有企图证明它成立的努力必然失败。

所有的数学问题或者为真，或者为假，不存在其他情况。

李恒看向阿基里斯肩膀上写着“排中律”字样的小便签。

“在数学中有两种证明，一种叫做构造性证明，它会给出具体的例证。”

“另一种则叫做非构造性证明，或者称作存在性证明，它所使用的规则就是排中律。”

“希尔伯特就是非构造性证明的大师。”

“利用排中律和反证法，即使并不知道具体的对象到底是什么，也能证明它存在。”

“连续统问题的本质就与排中律有关。”

“戴德金分割用有理数分割定义实数，并没有给定一些得以构造出集合A和B的数学规则。”

“『如果数轴可以划分为A和B』，却没有给出任何可以实际构造出这些集合的方法或程序，”

“无论如何，这些集合实际上是不可构造或验证的。”

“不仅如此，康托尔证明实数集C、自然数集的幂集?1等等集合是不可数无穷时使用的也是反证法，依赖于排中律。”

阿基里斯从那写着“我们必须知道，我们必将知道”的叶片上收回目光，看向自己肩膀上贴着的便签。

“排中律有问题？”

在不可数无穷上遇到的困难似乎就是源于排中律。

一个数学命题为真，或者为假，这应该是理所当然的。

“没错，排中律就是第三次数学危机的源头。”

“更深入的说，是排中律隐藏着的人类最基础的逻辑问题。”

李恒抬手敲了敲墓碑上的黑白照片道：

“说谎者悖论、上帝全能悖论、理发师悖论等等。”

“所有这些悖论的本质都是自我指涉问题。”

“『我说的这句话是谎话』，这句话是真是假？”

如果说的是真话，这句话就是谎话。

如果这句话是谎话，那么这句话就是真话。

这个古老的逻辑悖论就是第三次数学危机的根源。

它在康托尔的朴素集合论中被放大，成为了一个必须解决的问题。

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